高中三年级数学拓展课 04 2017.10.24
1、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分
1. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S1 、 S2 ，则有 S1 : S2 =
 |
2. 一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次性随机摸出 2 只球，则恰好有
1 只不过白球的概率为____________________
3. 在空间四边形ABCD 中，点 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AB=CD=8，AB 与 CD 所成角 60°，则EF
长为____________________
4. 设当 x = q 时，函数 f = sin x - 2cosplay x 获得最大值，则sinq = ____________________
5. 若7 展开式的第 4 项为 280，则lim = ____________________
p
6. 
在北纬 60°圈上有甲、乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于
3
球面距离是____________________
R （ R 为地球半径），则甲、乙两地间的
7. 
在 ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b - c = 1 a ，2sin B = 3sin C ，则cosplay A =
4
| |
8. 将函数 y = sinæ 2x + __________ ö 图像上的所有点向右平移 __________ 个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来
ç 3 ÷ 6
è ø
的 1 倍（纵坐标不变），则所得图像的函数分析式为____________________
2
9. 5 的展开式中， x5 y2 的系数为____________________
ìï2x - a, x < 1
10. 
设函数 f = í
ïî4 x a x 2a , x 1
，若 f 恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是____________________
11. 已知函数 f ，对任意的 x Î[1, +¥) ，恒有 f = 2 f 成立，且当 x Î[1, 2) 时，f = 2 - x ， 则方程 f = 1 x 在区间[1,100]上所有根的和为
3
12.
 |
| |
已知函数 f = sin æw > 0, j £ __________ ö ，x __________ 为 f 的零点，x = __________ 为 f 图像的对称
ç ÷ =-
è ø 4
轴，且 f 在æ __________ , ____________________ ö 上单调，则w 的最大值为____________________
ç 18 36 ÷
2、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题 5 分
13. 设a,b Î R ，则“ a > b ”是“ a > b ”的（ ）
A. 充分而非必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也非必要条件
14. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 AB、AA1 的中点，M、N 分别是线段 D1E 与C1F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线 MN 有（ ）
A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条
15. 
假如函数 y = f 图像上任意一点的坐标 都满足方程lg = lg x + lg y ，那样正确的选项是（ ）
A. y = f 是区间 上的减函数，且 x + y £ 4
B. y = f 是区间 上的增函数，且 x + y ³ 4
C. y = f 是区间 上的减函数，且 x + y ³ 4
D. y = f 是区间 上的减函数，且 x + y £ 4
ìï22 , a £ x < k
16. 已知函数 f = í
ïîlog2 +1, k £ x £ 1
，若存在实数k 使得该函数值域为[0, 2] ，则实数a 的取值
范围是（ ）
A. ，其纵坐标满足 y = f .
（1） 
求点B 的坐标，并求 f 的表达式；
（2） 
若0 £ t £ 6 ，求 AP × AB 的取值范围.
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
对于函数 f 、g ，若存在函数h ，使得 f = g × h ，则称 f 是 g 的“ h
关联函数”.
（1）已知 f = sin x ，g = cosplay x ，是不是存在概念域为 R 的函数h ，使得 f 是 g 的“ h
关联函数”？若存在，写出 h 的分析式；如没有，说明理由；
（2）已知函数 f 、g 的概念域在[1, +¥) ，当 x Î[n, n +1)时， f = 2n-1 sin x -1 ，若存在函数h1 及 h2 ，使得 f 是 g 的“ h1 关联函数”，且 g 是 f 的“ h2 关联函数”，求方程 g = 0 的解.
20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分已知 m 表示不小于 x 的最小整数，比如 m = 1.
（1）
| |
设 A = {x | m > m} ， B = æ 1 ,2ö ，若 A Ç B = Æ，求实数m 的取值范围；
2 ç 2 ÷
è ø
（2） 
设 g = m ) ，g 在区间 上的值域为 M ，集合 M 中元素的个数为a ，
求证： lim an = ；
n®¥ n2 +1 2
（3）设 g = x + a × ______________________________ - 2 ，h = ________________________________________________________________________________________________________________________ ，若对于 x , x Î > h ，
x
求实数a 的取值范围.
x2 - 5x + 7 1 2 1 2
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分
ì1, x ³ 0
概念符号函数sgn x = í
î
，已知a,b Î R ， f = x x - a sgn + b .
求 f - f 关于a 的表达式，并求 f - f 的最小值；
当b = 1 时，函数 f 在 上有唯一零点，求a 的取值范围；
2
已知存在a ，使得 f < 0 对任意的 x Î[1, 2]恒成立，求b 的取值范围.
