专题六 立体图形
种类一 正方体
【常识解说】
1、正方体的认识：
1. 特点：
正方体有6个面，每一个面都是正方形，所有些面都一模一样，有12条棱，所有些棱都相等，有8个顶点。
2. 正方体的棱长总和=棱长×12
用字母表示：12a
2、正方体表面积的计算
1. 表面积：正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2. 正方体的表面积=棱长×棱长×6
用字母表示：S=6a2
3、正方体体积的计算
1. 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长或底面积×高
用字母表示： V= a3 或Sh
【典例精讲】
计算下面图形的表面积和体积。
【答案】表面积是54平方分米，体积是27立方分米．
【分析】依据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，表面积=棱长×棱长×6，列式计算即可。
解：3×3×6=54（平方分米）；
3×3×3=27（立方分米）；
答：正方体的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。
【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积公式及其计算。
【巩固训练】
1、选择题。
1．下列图形中，（ ）是正方体的展开图。
2．正方体的棱长扩大3倍，则体积扩大（ ）倍。
A.2 B.4 C.27 D.8
3．一个正方体每一个面的面积都是9cm2，它的棱长是（ ）cm。
A．9 B．54 C．3
4．一个正方体的棱长总和是96dm，它的表面积是（ ）dm2。
A．384 B．1536 C．9516 D．512
5．一个正方体的棱长是6dm，它的表面积和体积相比较，（ ）
A．体积大 B．表面积大 C．同样大 D．没办法比较
6．用棱长2厘米的正方体木块拼成一个较大的正方体，至少需要（ ）块。
A.4 B.8 C.9 D.64
7．把一个棱长为6分米的正方体切成棱长为2分米的小正方体，可以得到（ ）小正方体。
A．27个 B．81个 C．9个
8．如图是几个相同小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，没被切掉的小正方体有（ ）个。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9．一个立方体木块，6个面都涂上红色，然后把它切成大小相等的27个小立方体，其中有三个面是红色的小立方体有（ ）个。
A.4 B.12 C.6 D.8
2、填空题。
1．一个正方体的表面积是54平方分米，它的一个面的面积是__________，棱长是__________。
2． 把一个棱长为1米的正方体切成棱长为1分米的小正方体，可以切成__________块，若把这类小正方形排成一行，一共长__________米。
3．“仁义礼智信孝”是大家的传统美德，小明将这六个字写在一个正方体的六个面上，其平面展开如下图所示，那样在该正方体中，和“仁”相对的字是（ ）。
4．要焊接一个体积为125立方厘米的正方体框架，需要铁丝（ ）厘米。
5．3个棱长为20cm的正方体木块放在墙角处（如图），有______________________________个面露在外面，露在外面的面积是__________cm2．
6．如图所示是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是（ ）。
7．有一个立方体，每一个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度察看的结果如图所示，那样这个立方体1的对面是__________，3的对面是__________，4的对面是__________．
8． 把棱长为1厘米的小正方体根据下图的方法摆设，伴随小正方体个数的增加，露在外面的面数变化有哪些规律？找规律，填表。
3、解答卷。
1．一个正方体的棱长和是48厘米，这个正方体的棱长是多少厘米？
2．一个无盖的立方体盒子，棱长4分米，它的表面积是多少平方分米？
3．计算下面正方体的表面积和体积。
4．有5个棱长为40厘米的正方体纸箱放在墙角处，露在外面的面积一共有多少平方厘米？
【参考答案】
1、1. 【答案】B
【分析】本题考查正方体展开图的特点。依据正方体展开图的特点，图B符合正方体展开图的结构，能组成正方体。
2. 【答案】C
【分析】棱长扩大3倍，体积扩大3×3×3=27倍。
3. 【答案】C
【分析】由于正方体的每一个面都是正方形，依据正方形的面积公式：s=a2可知一个正方体每一个面的面积都是9cm2，它的棱长是3厘米，据此解答。
解：由于3×3=9（平方厘米）
所以正方体的棱长是3厘米。
故选：C．
【点评】此题主要考查正方形的面积公式的灵活运用。
4. 【答案】A
【分析】第一用正方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再依据正方体的表面积公式：s=6a2，把数据分别代入公式解答。
解：96÷12=8（分米），
8×8×6
=64×6
=384（平方分米）
答：正方体的表面积是384平方分米。
故选：A．
【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用。
5. 【答案】D
【分析】正方体的表面积是6×6×6=216（平方分米），正方体的体积是6×6×6=216（立方分米），这里虽然数字相同，但它们表示的意义不同，用的单位不同，没办法比较它们的大小。
解：依据题干剖析可得，表面积和体积的意义不同，单位没法统一，所以没办法比较大小。
故选：D．
【点评】比较大小只能是在同一单位的状况下进行比较，单位没办法统一的状况下，没办法比较它们的大小。
6. 【答案】B
【分析】本题考查正方体的棱长特征。剖析用小正方体组成较大正方体时棱长及所用数目的变化状况。
【答案】B
【分析】棱长之和÷12=棱长
7. 【答案】A
【分析】先求出大正方体的体积，再求出小正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积，就能求出分了多少块了。
解：6×6×6=216（立方厘米）；
2×2×2=8（立方厘米）；
由题意知个数为：216÷8=27（个）；
答：可以得到27个。
故选：A．
【点评】此题考查了正方体的体积的灵活应用。
8. 【答案】B
【分析】本题考查的是简单的立方体切拼问题。
如图是由几个相同的小正方体拼成的大正方体，由AB向C点斜切，可以看到切掉的小正方体有4个，由于该正方体是由8个小正方体拼成，所以没切掉的有8-4=4（个），故此题选B。
9. 【答案】D
【分析】本题考查正方体的图形特征及空间想象能力。明确只有坐落于顶点上的小正方体的三个面是红色的，依据正方体的顶点数目，正确解决问题。
剖析可知，只有坐落于顶点的小正方体，它的三个面是红色的，正方体有8个顶点，所以有三个面是红色的小正方体数目是8个。
2、1. 【答案】9平方分米，3分米．
【分析】先依据正方体的表面积公式求出正方体一个面的面积是：54÷6=9平方分米，由此依据完全平方数的性质即可得出正方体的棱长是3分米，据此即可解答。
解：正方体的一个面的面积是：54÷6=9（平方分米），
由于3×3=9，所以正方体的棱长是3分米，
故答案为：9平方分米，3分米．
【点评】此题考查正方体的表面积和体积公式的灵活应用，依据正方体一个面的面积求出正方体的棱长是解决此类问题的重点。
2. 【答案】1000，100．
【分析】棱长1分米的小正方体体积是1立方分米，与1立方米的小正方体的体积之间的进率是1000，所以就是1000个小正方体，排成一排一共长1000×1=1000分米；进而得出结论。
解：棱长1分米的小正方体体积是1立方分米，1立方米和1立方分米之间的进率是1000，所以1立方米的小正方体可以截成1000个棱长是1分米的小正方体；
1000×1=1000（分米）=100（米）；
故答案为：1000，100．
【点评】解答此题应依据体积单位间的进率进行剖析，或先把棱长为1米的正方体化为棱长为10分米的正方体，进而依据正方体的体积计算公式进行解答。
3. 【答案】智
【分析】本题考查的是正方体的展开图的常识，第一要了解把正方体展开将来，共六个面，每一个面都有它相对应的面，只须找对相对应的面即可。
图中共有六个字，每个字都在小正方形中，即正方体的六个面，“仁”相对的字是“智”， “义”相对的字是“孝”，“礼”相对的字是“信”。
4. 【答案】60
【分析】本题主要考查了正方体体积公式的应用和棱长和的应用。先依据正方体的体积公式求出正方体的棱长，再进一步求出正方体框架需要的铁丝。
依据题意，正方体的体积是125立方厘米，因此立方体的棱长为5cm，由于正方
体有12条棱，所以需要铁丝为5×12=60（厘米）。
5. 【答案】7，2800．
【分析】依据题意可知：3个棱长为20厘米的正方体木块放在墙角处，正面有3个面外露，右面有2个面外露，上面有2个面外露，由此得共有7个面外露．依据正方形的面积公式：s=a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，然后乘7即可．据此解答．
解：正面有3个面外露，右面有2个面外露，上面有2个面外露，
3+2+2=7（个），
20×20×7
=400×7
=2800（平方厘米），
答：有7个面露在外面，露在外面的面积是2800平方厘米。
故答案为：7，2800．
【点评】此题考查的目的是理解学会正方体的特点，用正方形面积公式的灵活运用，重点是熟记公式。
6. 【答案】6。
7. 【答案】5，6，2．
【分析】
图1：正面为1，上面为6，右面为4；
图2：正面为3，上面为2，右面为1；
图3：正面为4，上面为5，右面为3；
由图1和图2可以确定1的对面是5，由图1和图3可以确定4的对面是2，由此解答。
解：依据题意可知：1的对面不可以是6、4和2、3，所以1对5；
4的对面不可以是1、6和3、5，所以4对2；
剩下的是3对6；
故答案为：5，6，2．
【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，剖析及解答问题．
8. 【分析】1个正方体有6个面，两个正方体有6×2=12个面，叠在一块减去2个面，得到露在外面的面数是10；
1个正方体有6个面，4个正方体有6×4=24个面，叠在一块减去4×2=8个面，得到露在外面的面数是16；
1个正方体有6个面，6个正方体有36个面，叠在一块减去14个面，得到露在外面的面数是22；
1个正方体有6个面，8个正方体有48个面，叠在一块减去20个面，得到露在外面的面数是28；
1个正方体有6个面，10个正方体有60个面，叠在一块减去26个面，得到露在外面的面数是34。
【答案】
摆设的行数 小正方体的个数 露在外面的面数 露在外面的面积
1 2 10 10
2 4 16 16
3 6 22 22
4 8 28 28
5 10 34 34
… … … …
3、1. 【答案】48÷12=4（厘米） 答：这个正方体棱长是4厘米。
【分析】正方体的棱长之和=棱长×12
2. 【答案】80平方分米．
【分析】第一搞清这道题是求正方体的表面积，第二这个正方体缺少上面，由5个正方形组成，所以先算出一个正方形的面积，进而乘上5即可解决问题。
解：4×4×5
=16×5
=80（平方分米）
答：它的表面积是80平方分米。
【点评】此题考查正方体表面积的实质应用，在计算时要分清需要计算几个正方形面的面积，从而列式解答即可．
3. 【答案】表面积是216平方分米，体积是216立方分米
【分析】
依据正方体的表面积公式：s=6a2，体积公式：v=a3，把数据代入公式解答即可。
解答：6×6×6=216（平方分米），6×6×6=216（立方分米）。这个正方体的表面积是216平方分米，体积是216立方分米。
4. 【答案】16000平方厘米
